Semaine
Pour comprendre le point de vue "surface de Riemann" de la quartique de Klein, voir le livre Complex Functions de Jones et Singerman (cf bibliographie).
C’est traité dans le chapitre 4. Cependant, tout le début du chapitre introduit les surfaces de Riemann par un autre point de vue que celui que je vous ai raconté: ils expliquent comment à partir d’une fonction holomorphe sur un petit ouvert de C (par exemple la fonction racine carré sur un petit disque) on peut, en considérant tous les prolongements analytiques possibles de cette fonction, construire un "nouvel espace", qui sera une surface, sur lequel la fonction est maximalement défini et sur lequel on a résolu les problèmes des fonctions multivalués.
C’est à partir de la section 4.14 "The Riemann surface of an algebraic equation" que cela ressemble à ce que je vous ai esquissé au tableau. Je vous conseille de partir de cette section, en remontant éventuellement en arrière si ils font appels à des notions définies précedemment. L’exemple de la section 4.8 "The Riemann surface of
La définition général est abtraite d’une surface de Riemann est donné à la section 4.11; c’est normal si ça parait compliqué, c’est le genre de concept qui est simple sur un dessin mais assez formel à définir. Il vaut mieux travailler des exemples avant d’essayer d’appréhender la notion générale et se décourager.
Pour une discussion très intéressante sur la notion de caractéristique d’Euler, et plus généralement sur ce qu’est une définition, un théorème, une preuve (et pour faire un peu de philosophie des mathématiques) regarder le début du livre Proofs and Refutations de Lakatos (à partir de la partie "A Problem and a Conjecture").