Théorie des groupes

Exercices:

Bestiaire de groupes finis:

  1. Il existe un unique groupe simple d’ordre 60.

  2. Il existe un unique groupe simple d’ordre 168 (dur, voir le Cours d’algèbre de Perrin page 115).

  3. Ce sont les seules groupes simples non-abélien d’ordre \( \le 168 \).

Groupes linéaires:

  1. Calculer le cardinal de \( \mathrm{(P)SL}(n, K) \) où \( K \) est un corps fini.

  2. \( \mathrm{PSL}(2, K) \) est simple si \( K \) a au moins 4 (?) élements (dur).

Groupes de symétries:

  1. Décrire le groupe des isométries du plan euclidien.

  2. Trouver le groupe d’isométries du plan qui préservent un polygone régulier à \( n \)-côtés.

  3. Trouver le groupe d’isométries du plan qui préservent l’ensemble \( \mathbb {Z}\times \left\{ 0 \right\} \subset \mathbb {R}^2 \).

  4. Décrire le groupe des isométries de la sphère \( \mathbb {S}^{2} = \left\{ x^{2} + y^{2} + z^{2} =1 \right\} \subset \mathbb {R}^{3} \).

  5. Déterminer les groupes d’isométries des solides de Platon.

  6. Déterminer les sous-groupes finis des isométries de \( \mathbb {S}^{2} \) (dur).