Le groupe des homographies \(\mathrm{PGL}(3, \mathbb {C})\)

Le groupe des homographies, ou bien le groupe des transformations projectives, du plan \( P^{2} (\mathbb {C}) \) est le groupe quotient \( \mathrm{PGL}(3, \mathbb {C}) = \mathrm{GL}(3, \mathbb {C}) / \left\{ \pm 1 \right\} \). On étudie ici quelques propriétés et sous-groupe intéressants de ce groupe. On définit les points du plan projectif \( a = [1, 0, 0] \), \( b = [0, 1, 0] \), et \( c = [0, 0, 1] \)

  1. Expliciter le stabilisateur du point \( a \) dans \( \mathrm{PGL}(3, \mathbb {C}) \).

  2. En déduire le sous-groupe de \( \mathrm{PGL}(3, \mathbb {C}) \) qui fixe \(a \), \( b \) et \( c \).

On note maintenant \( K \) la quartique de Klein d’équation

\begin{equation} \label{eq:klein} x^3 y + y^3 z + z^3 x = 0 . \end{equation}

On note \( G \) le sous-groupe de \( \mathrm{PGL}(3, \mathbb {C}) \) qui fixe \( K \).

  1. Trouver le stabilisateur de \( a \) dans \( G \).