Coniques

Une conique est une courbe projective plane définie par un polynome homogène de degré 2.

Montrer qu’à transformation projective près, il n’existe que 3 coniques distinctes:

• La double droite \( x^2 = 0 \)

• La paire de droite \( xy = 0 \)

• Le cercle \( x^2+y^2+z^2=0 \) (ce cas est dit non-dégénéré).

On pourra utiliser la classification des formes quadratiques sur \( \mathbb {C}\). Comparer avec la situation réelle.

Montrer qu’une conique non-dégénéré est rationnelle, c’est à dire qu’il existe une bijection de \( \mathbb {P}^1 (\mathbb {C}) \) vers cette conique. Indication: dans une carte affine où la conique est d’équation \( x^2+y^2=1 \), regarder les droites qui passent par \( (0,1) \). Chacune de ces droites recoupe la conique en un unique autre point (à part la droite verticale).

Déterminer le groupe des symétries d’une conique non-dégénéré.