La quartique de Klein

La quartique de Klein est la courbe projective plane d’équation homogène:

La première étape est donc de comprendre ce qu’est une courbe projective plane. Pour cela, il faut définir le plan projectif \( \mathbb {P}^2(\mathbb {C}) \) (et plus généralement la notion d’espace projectif).

Ensuite, il faut comprendre pourquoi une expression du type ?? définit une courbe. Une telle expression s’appelle un équation polynomiale homogène.

Comme nous le verrons, la quartique de Klein est intéressante parce qu’elle est la plus symétrique possible, en un sens à préciser. Pour comprendre cela, il faut introduire le groupe \( \mathrm{PGL}(3,\mathbb {C}) \) des transformations projectives du plan. Ensuite, il faudra étudier le sous-groupe de ces transformations projectives qui préservent la quartique de Klein.

Ce groupe est remarquable car c’est l’unique groupe simple (non-abélien) d’ordre 168, et c’est le 2eme plus petit groupe simple (non-abélien) après le groupe alterné \( A_{5} \) d’ordre 60. De plus, c’est l’ordre maximale d’un groupe qui préserve une quartique. Réciproquement, une quartique qui a un groupe de symétrie d’ordre 168 et forcément la quartique de Klein.