Le groupe \( \mathrm{PSL}(2, F_7) \)
Un dévissage de \( G = \mathrm{PSL}(2, F_7) \). Pour comprendre ce groupe, on détermine tout ses sous-groupes et l’action de \( G \) sur ces sous-groupes. Pour cela, on commence par l’étude de ses \( p \)-Syllow, pour \( p=2,3,7 \).
Montrer que le cardinal de \( G \) est \( 168 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7 \).
Montrer que \( G \) agit transitivement sur la droite projective \( \mathbb {P}^{1}(F_{7}) \), c’est à dire l’ensemble des droites de \( F_{7}^{2} \).
Montrer que \( G \) agit transitivement sur les paires de points distincts de \( \mathbb {P}^{1}(F_{7}) \).
On considère les sous-groupes de \( G \) suivant:
Le groupe \( P \) des matrices triangulaires supérieur.
Le groupe \( A \subset P \) des matrices diagonales.
Le groupe \( U \subset P \) des matrices triangulaires supérieur avec des \( 1 \) sur la diagonale.
Calculer les ordres des sous-groupes \(P, A \) et \( U \) (attention, on est dans \( \mathrm{PSL} \) et pas \( \mathrm{SL} \)!).
Montrer que \( P \) est le stabilisateur d’un point de \( \mathbb {P}^{1}(F_{7}) \) (c’est à dire d’une droite de \( F_{7}^{2} \).
Montrer que \( A \) est le stabilisateur d’une paire de points distincts de \( \mathbb {P}^{1}(F_{7}) \).
Montrer que \( P \) est le normalisateur de \( U \).
Calculer le normalisateur de \( A \).
En déduire le nombre de \( 3 \)-Syllow et de \( 7 \)-Syllow.
Formes quadratiques sur \( F_{7} \). On définit \( q(x,y) = x^2+y^2 \), qui est une forme quadratique sur \( F_{7}^2 \). Remarquer que \( \mathrm{SL}(2, F_{7}) \) agit sur l’ensemble des formes quadratiques sur \( F_{7}^2 \) par précomposition: \( (M, q) \mapsto q \circ M^{-1} \).
Déterminer le sous-groupe de \( \mathrm{SL}(2, F_{7}) \) des matrices qui préservent \( q \).
Déterminer le sous-groupe de \( \mathrm{SL}(2, F_{7}) \) des matrices qui préservent \( \left\{ q, -q \right\} \).
Nombres complexes sur \( F_{7} \).
Montrer que \( -1 \) n’est pas un carré dans \( F_{7} \).
Montrer qu’il existe un plus petit corps qui contient \( F_{7} \) et dans le lequel \( -1 \) est un carré. Montrer que ce corps est de cardinal \( 7 \cdot 7 \). On l’appelera le corps de nombres complexes sur \( F_{7} \).