4 Famille quadratique

Voir le texte de Roeder.

1. Toute polynome de degré 2 est conjugué dans la famille quadratique \( p_{c}(z) = z^2+c \).

2. Calcul des points fixes est de leurs multiplicateur pour \( p_{c} \).

3. Dessin de la <<cardioïde principale>> qui délimite les paramètres \( c \) où \( p_{c} \) a un point fixe attractif.

4. Idem cycle d’ordre 2.

5. Définition de l’ensemble de Mandelbrot: paramètres \( c \) où \( J_{c} \) est connexe, ou de manière équivalente (admise) où l’orbite du point critique (c’est à dire \( 0 \)) tends vers l’infini. Illustration.

6. Montrer que le Mandelbrot est borné.

7. Exemple de paramètre avec un point fixe attractif, parabolique, neutre et dessin des Julia associés.

8. On dit que \( c \) est le centre d’une composante hyperbolique (de l’ensemble de Mandelbrot) si \( 0 \) est un point périodique (pour une certaine période \( n \)), forcément super-attractif. Donner l’équation qui définit un tel centre d’une composante hyperbolique (d’ordre \( n \)). Les calculer pour \( n=1,2,3 \), les représenter sur l’ensemble de Mandelbrot et tracer les Julia correspondant.