2 Exercices

On trouvera ici quelques exercices "ouverts", c’est à dire sans réponse précise attendue, pour s’entrainer à manipuler les notions dynamiques.

Dynamique dans un ensemble fini. Soit \( X \) un ensemble fini et \( f : X \to X \). Le graphe dynamique de \( f \) est le graphe dont les sommets sont les points de \( X \) et où l’on relie deux points \( x \) et \( y \) par une arrête si \( f(x) = y \). Décrire les différentes allures possibles pour un graphe dynamique sur un ensemble fini.

Polynômes de degré 1. Soit \( f \) un polynôme complexe de degré 1, c’est à dire que \( f(x) = az + b \) avec \( a \) et \( b \) des complexes tels que \( a \neq 0 \). Étudier la dynamique de \( f : \mathbb {C}\to \mathbb {C}\) (par exemple: ses points fixes, périodiques...). Comment cette dynamique varie avec le paramètre \( a \) ? Trouver une conjugaison (c’est à dire un changement de variable) qui réduise \( f \) à une forme la plus simple possible.

Polynômes de degré 2. Soit \( f \) un polynôme de degré 2. Monrer que \( f \) est conjugué à un polynome de la forme \( z^2 + c \).

Conjugaison On suppose que \( f \) est conjugué à \( g \). Montrer que \( f^n \) est conjugué à \( g^{n} \). Montrer que les orbites de \( f \) sont en bijection avec les orbites de \( g \). Montrer que les points périodiques de \( f \) sont en bijection avec les points périodiques de \( g \).