1 Notions dynamiques

On peut définir de manière très générales les notions dites "dynamiques" suivantes. Soit $X$ un ensemble et $f:X\to X$ une application de $X$ dans lui même. On dit parfois que $(X,f)$ est un système dynamique.

• Pour un entier $n\in \mathbb{N}$, l’itéré $n$-ième de $f$, noté $f^n$, est la composition $f\circ \cdots \circ f$ (avec $n$ termes).

• Un point fixe de $f$ est un point $x\in X$ tel que $f(x)=x$.

• Un point périodique de $f$ est un point $x\in X$ tel qu’il existe $n$ tel que $f^n(x)=x$. Autrement dit, c’est le point fixe d’une certaine itéré de $f$.

• Un sous-ensemble $Y\subset X$ est stable (ou invariant) si $f(Y)\subset Y$.

Soit $(Y,g)$ un autre système dynamique. On dit que $f$ est conjuguée à $g$ si il existe une bijection $\phi :X\to Y$ telle que $\phi \circ f=g\circ \phi$. Intuitivement, $g$ est obtenu à partir de $f$ en faisant le "changement de variable" $y=\phi (x)$. Remarquer que c’est une relation d’équivalence.