1 Notions dynamiques

On peut définir de manière très générales les notions dites "dynamiques" suivantes. Soit \( X \) un ensemble et \( f : X \to X \) une application de \( X \) dans lui même. On dit parfois que \( (X,f) \) est un système dynamique.

• Pour un entier \( n \in \mathbb {N} \), l’itéré \(n\)-ième de \( f \), noté \( f^{n} \), est la composition \( f \circ \cdots \circ f \) (avec \( n \) termes).

• Un point fixe de \( f \) est un point \( x \in X \) tel que \( f(x) = x \).

• Un point périodique de \( f \) est un point \( x \in X \) tel qu’il existe \( n \) tel que \( f^n(x) = x \). Autrement dit, c’est le point fixe d’une certaine itéré de \( f \).

• Un sous-ensemble \( Y \subset X \) est stable (ou invariant) si \( f(Y) \subset Y \).

Soit \( (Y,g) \) un autre système dynamique. On dit que \( f \) est conjuguée à \( g \) si il existe une bijection \( \varphi : X \to Y \) telle que \( \varphi \circ f = g \circ \varphi \). Intuitivement, \( g \) est obtenu à partir de \( f \) en faisant le "changement de variable" \( y = \varphi (x) \). Remarquer que c’est une relation d’équivalence.